Définition

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\)
Une famille génératrice libre de \(F\) s'appelle une base de \(F\)
(Famille libre - Famille linéairement indépendante, Famille génératrice)

Intérêt

Théorème :
Si \((u_1,\ldots,u_m)\) est une base de \(F\subset E\), alors \(\forall v\in F\), il existe des uniques \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m\in\Bbb R\) tels que $$v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_mu_m$$
Démonstration : $$\begin{align}&F=\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_m)\\ &\text{donc }\forall v\in F,\exists\lambda_1,\ldots,\lambda_m,v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_mu_m\\ \\ &\text{supposons qu'il existe aussi }\mu_1,\ldots,\mu_n\text{ tels que}\\ &v=\mu_1u_1+\mu_2u_2+\ldots+\mu_mu_m\\ \\ &\text{alors }0_E=(\lambda_1-\mu_1)u_1+\ldots+(\lambda_m-\mu_m)u_m\\ &\implies\lambda_1=\mu_1,\ldots,\lambda_m=\mu_m\end{align}$$
Exemple : $$\begin{align}&\Bbb R^n=\left\{\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix},a_1,a_2,\ldots,a_n\in\Bbb R\right\}\\ &\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ a_2\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\ldots+\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\ldots+a_n\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\\ &=a_1e_1+a_2e_2+\ldots+a_ne_n\\ \\ &\text{conclusion : les vecteurs }e_1,e_2,\ldots,e_n\text{ forment une base de }\Bbb R^n\end{align}$$

Construction

Construction d'une base de \(E\neq\{0_E\}\) :

1. \(\exists u_1\neq\bar0\)
2. \(u_2\notin\operatorname{Vect}(u_1)=\{\alpha u_1,\alpha\in\Bbb R\}\iff u_2\neq\alpha u_1\implies\{u_1,u_2\}\text{ est libre}\)
3. Idem avec \(u_3\), etc

Propriétés

Liens avec le déterminant

Proposition :
\(u_1=\binom{a_1}{b_1}\) et \(u_2=\binom{a_2}{b_2}\) forment une base de \(\Bbb R^2\) si et seulement si le déterminant \(\operatorname{det}(u_1,u_2)\neq 0\)
(valable aussi dans \(\Bbb R^3\))
(Déterminant)
Démonstration : $$\begin{align}&\text{il faut montrer que }\vec\forall v=\binom cd\in\Bbb R^2,\exists!\;x_1,x_2\in\Bbb R,x_1\vec u_1+x_2\vec u_2=\vec v\\ &\iff x_1\binom{a_1}{b_1}+x_2\binom{a_2}{b_2}=\binom cd\\ &\iff\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2=c\\ b_1x_1+b_2x_2=d\\ &\text{c'est vrai si et seulement si }\operatorname{det}(\vec u_1,\vec u_2)\neq0\end{cases}\end{align}$$

Nombre d'éléments

Théorème :
Si \(E\) est un espace vectoriel tq \(\operatorname{dim}E=n\in\Bbb N\), alors toute famille libre ou génératrice de \(E\) admettant exactement \(n\) éléments est une base de \(E\)

Concepts liés

Changement de base
Théorème de la base incomplète

Autres notations

Notation bra-ket - Formalisme de Dirac

Exercices

Consigne: Soit \(E\) un \({\Bbb R}\)-espace vectoriel de dimension \(2\), muni d'une base \((e_1,e_2)\)
On considère les deux vecteurs de \(E\) : \(u_1=e_1+2e_2\) et \(u_2=e_2-e_1\)
Montrer que \((u_1,u_2)\) est une base de \(E\)

\(u_1=\binom12\) et \(v_2=\binom{-1}1\)
$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}1&-1\\ 2&1\end{pmatrix}=3\ne0$$ donc \((u_1,u_2)\) est une base

(Déterminant)